Thi THPT Quốc gia môn Toán: Ôn tập 7 dạng toán chuyên đề đồ thị hàm số

Chỉ còn một thời gian ngắn nữa là kì thi THPT Quốc gia sẽ chính thức diễn ra. Do ảnh hưởng của dịch mà kì thi THPT Quốc gia năm nay có rất nhiều biến động. Với bài thi thpt quốc gia môn toán, theo như đề thi minh họa lần 1 và đề thi minh họa lần 2 tương đối dễ. Tuy thế, học sinh không nên chủ quan, bởi đề thi thpt quốc gia môn toán chính thức sẽ có thể khó hơn đề thi minh họa

Trong ma trận đề thi thpt quốc gia môn toán số câu hỏi thuộc chương I: hàm số chiếm số lượng tương đối lớn, chiếm đến 12 câu trong tổng số 50 câu của đề. Thế nên, đây là một chương quan trọng đối với học sinh lớp 12. Dưới đây là tóm tắt kiến thức chung và hướng dẫn toàn bộ các dạng bài của chuyên đề 1: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm (x₀; y₀)

Đồ thị hàm số chiếm tới gần 1/4 số câu trong đề thi minh họa môn Toán năm 2020

Nhận sách CC Thần tốc luyện đề ôn thi Đại học FREE TẠI ĐÂY 

Gợi ý chọn tài liệu ôn thi THPT Quốc gia 2020 full 8 môn 

Đồng giá 99k/ cuốn CC Thần tốc luyện đề 2020 - Bộ 45 đề thi chuẩn cấu trúc Bộ Giáo dục có đáp án chi tiết 

Đồng giá 168k/ cuốn Bí quyết chinh phục điểm cao kì thi THPT Quốc gia -> bộ sách NÂNG CAO ôn TỰ LUẬN thi Bách Khoa, Ngoại thương

Đột phá 8+ kì thi THPT Quốc gia: Trọn bộ kiến thức + dạng bài mẫu xuyên suốt 3 năm THPT

Ôn luyện kì thi THPT Quốc gia

Infographic kì thi THPT Quốc gia

1, Tóm tắt kiến thức chung đề thi thpt quốc gia môn toán: Chương Đồ thị - Hàm số

a, Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm Mo (x₀; f(x₀))

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M₀ (x₀; f(x₀)) là: y – y₀ = f’(x₀). (x – x₀) (y₀ = f(x₀))

b, Điều kiện cần và đủ để 2 đường (C₁): y = f(x) và (C₂): y = g(x) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x₀ là hệ phương trình: f(x₀) = g(x₀) và f’(x₀) = g’(x₀) có nghiệm x₀

c, Nghiệm của hệ là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó

Nếu (C₁): y = px + q và (C₂): y = ax² + bx + c thì (C₁) và (C₂) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi phương trình ax² + bx + c = px + q có nghiệm kép

d, Các dạng tiếp tuyến của đồ thị hàm số thường gặp trong đề thi thpt quốc gia môn toán

+ Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm M (x₀; y₀), hoặc hoành độ x₀, hoặc tung độ y₀

+ Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua điểm A (x_A; y_A) cho trước

+ Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc của nó

Phương pháp chung cho các dạng bài tiếp tuyến trong đề thi thpt quốc gia môn toán

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và M (x₀; y₀) là điểm trên (C). Tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M (x₀;y₀) có:

+ Hệ số góc: k = f’(x₀)

+ Phương trình: y – y₀ = k(x – x₀) hay y – y₀ = f’(x₀). (x – x₀)

Vậy để viết được phương trình tiếp tuyến tại M (x0; y0) chúng ta cần đủ 3 yếu tố sau

+ Hoành độ tiếp điểm: x₀

+ Tung độ tiếp điểm: y₀ (nếu đề chưa cho, ta phải tính bằng cách thay x₀ vào hàm số y₀ = f (x₀)

+ Hệ số góc k = f’(x₀)

2, Đề thi thpt quốc gia môn toán: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm (x₀; y₀)

Tóm tắt kiến thức về Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm (x₀; y₀)

+ Hai đồ thị tiếp xúc

Định nghĩa: Hai đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) gọi là tiếp xúc nhau tại điểm M nếu tại M chúng có cùng tiếp tuyến

Định lí 1: Hai đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình: f(x) = g(x) và f’(x) = g’(x) có nghiệm và nghiệm của hệ chính là tọa độ tiếp điểm

+ Tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong đề thi thpt quốc gia môn toán

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x). Một cát tuyến MMo được giới hạn bởi đường thẳng MoT khi M đã dần tới Mo thì MoT gọi là tiếp tuyến của đồ thị. Mo gọi là tiếp điểm

Định lí 2: Đạo hàm của f(x) tại x = x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến tại M (x₀; f(x₀))

Nhận xét: hệ số góc của mọi tiếp tuyến đều có dạng f’(x₀)

Bài toán số 1 về phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm (x₀; y₀)

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến cuả đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M (x₀; f(x₀))

Phương pháp: Tiếp tuyến cuả đồ thị hàm số y = f(x) tại M (x₀; y₀) là: y = f’(x₀) (x – x₀) + y₀ với y₀ = f(x₀)

+ Cách 1: Phương trình tiếp tuyến có dạng y = kx + b

Điều kiện tiếp xúc là hệ phương trình: f(x) = kx + b (1) và f’(x) = k (2)

Từ (2) ta tìm được x, thế vào (1) ta có được b. Từ đó ta có được phương trình tiếp tuyến cần tìm

+ Cách 2: Giải phương trình f’(x) = k, giải phương trình này ta tìm được các nghiệm x₁, x₂,… x_n

Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f’(x_i)(x – x_i) + f(x_i) (I = 1, 2,… n)

+ Chú ý khi làm đề thi thpt quốc gia môn toán: Đối với bài toán này ta cần lưu ý một số vấn đề sau

Số tiếp tuyến của đồ thị chính là số nghiệm của phương trình f’(x) = k

Cho hai đường thẳng d₁: y = k₁x + b₁ và d₂: y = k₂x + b₂. Khi đố

+) d₁ // d₂ khi và chỉ khi k₁ = k₂; b₁ khác b₂

+) d₁ vuông góc d₂ khi và chỉ khi k₁.k₂ = -1

+) tan ∝ = | (k₁ – k₂)/ (1 + k₁k₂) | trong đó ∝ là góc hợp bởi d₁ và d₂

Phương pháp chung: Hai đường cong (C): y = f(x) và (C’): y = g(x) tiếp xúc nhau tại M (x₀; y₀). Điểm M thuộc tập giao của (C) và (C’) và tiếp tuyến của M tại (C) trung với tiếp tuyến của M tại (C’) khi và chỉ khi hệ phương trình f(x₀) = g(x₀) và f’(x₀) = g’(x₀) có nghiệm x₀

Lưu ý: Mệnh đề sau đây không đúng cho mọi trường hợp

(C): y = f(x) và (d): y = ax + b tiếp xúc nhau suy ra f(x) – ax – b = 0 có nghiệm kép

Hàm f(x) nhận x₀ làm nghiệm bội k nếu f (x₀) = f’(x₀) và f^k  (x₀) khác 0. Nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2 chứ không phải nghiệm kép

Phép biến đổi tương đương của phương trình nói chung không bảo toàn số bội của nghiệm

Ví dụ: Đồ thị (C): y = sinx của hàm số tiếp xúc với đường thẳng (d): y = x tại x = 0 nhưng phương trình sinx – x thì không thể có nghiệm kép. Như vậy, biến đổi tương đương của phương trình chỉ bảo toàn tập nghiệp chứ không chắc chắn bảo toàn số bội các nghiệm. Đây cũng là sai lầm dễ mắc phải khi giải quyết bài toán tiếp tuyến trong các đề thi thpt quốc gia môn toán

Bài toán số 2 về phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm (x₀; y₀) trong đề thi thpt quốc gia môn toán

Đường cong (C): y = f(x) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 khi và chỉ khi hàm số y = f(x) khả vi tại x₀. Trong trường hợp (C) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 thì tiếp tuyến đó có hệ số góc f’(x₀)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) tại điểm M (x₀; f(x₀)) có dạng y = f’(x₀) (x- x₀) + f(x₀)

Chữa chi tiết 7 dạng bài thường gặp trong trong đề thi thpt quốc gia môn toán: Cho hàm số y = x³ + 3x² + 1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

1, tại điểm M (-1; 3)

2, tại điểm có hoành độ bằng 2

3, tại điểm có tung độ bằng 1

4, tại giao điểm của (C) với trục tung

5, có hệ số góc là 9

6, song song với đường thẳng (d): 27x – 3y + 5 = 0

7, vuông góc với đường thẳng (d’): x + 9y + 2020 = 0

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định tại D = R

Ta có: y’ = 3x² + 6x

1, Phương trình tiếp tuyến (t) tại M (-1; 3) có phương trình: y = y’(-1)(x +1) + 3

Ta có y’(-1) = -3, khi đó phương trình (t) là: y = -3x + 6

Chú ý: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M (x₀, f(x₀))

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M (x0; y0) là: y = f’(x0)(x - x0)

2, Thay x = 2 vào đồ thị của (C) ta được y = 21. Tương tự câu 1, phương trình (t) là: y – 24x – 27

Chú ý: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi hàm số y = f(x) biết hoành độ tiếp điểm x = x₀, y = f(x₀), y’(x₀) nên suy ra phương trình tiếp tuyến: y = f’(x₀) (x – x₀) + y₀

3, Thay y = 1 vào đồ thị của (C), ta được x² (x + 3) = 0, nên suy ra x = 0 hoặc x = -3

Tương tự câu 1, phương trình (t) là: y = 1, y = 9x + 28

Chú ý: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết tung độ tiếp diểm bằng y0. Gọi M (x₀; y₀) là tiếp điểm

Giải phương trình f(x) = y₀ ta tìm được các nghiệm x0

Tính y’(x₀) nên suy ra phương trình tiếp tuyến: y = f’(x₀)(x – x₀) + y₀

4, Trục tung Oy: x = 0 nên suy ra y =1. Tương tự câu 1, phương trình (t) là y = 1

5, Gọi (x₀; y₀) là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C) của hàm số và tiếp tuyến (t)

Ta có: y’(x₀) = 3x₀²+ 6x₀, theo giả thiết y’(x₀) = 9, tức là 3x₀²+ 6x₀ = 9 nên suy ra x₀ = - 3 hoặc x₀ =1. Tương tự câu 1

6, Gọi (x₀; y₀) là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C) của hàm số và tiếp tuyến (t)

Theo bài toán: (t) // (d): y = 9x + 5/3 => y’(x₀) = 9. Tương tự câu 1

7, Gọi (x₀; y₀) là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C) của hàm số và tiếp tuyến (t)

Theo bài toán: (t) vuông góc (d): y = -1/9 x – 2020/9 => y’(x₀) = 9. Tương tự câu 1