Làm sao để tính đạo hàm các hàm số lượng giác siêu nhanh?

Tính đạo hàm của các hàm số lượng giác lớp 11 có phần phức tạp hơn so với hàm số thông thường. Vì vậy để giải nhanh được bài tập trên các em cần phải biết vận dụng bài tập một cách linh hoạt các quy tắc tính. CCBook xin hệ thống lại các quy tắc tính đạo hàm nhanh để các em ôn lại. 

Phương pháp tính nhanh đạo hàm các hàm số lượng giác

Quy tắc tính đạo hàm các hàm số lượng giác lớp 11

Các hàm số u = u(x), v= v(x), w = w (x) có đạo hàm, khi đó.

(u+v)'x = u' + v'  ; (u-v)' = u' - v'    ; (ku') = k.u', k ∈ R.

(uv)' = u'v + u.v'  ; (u/v)' = (u'v - uv')/v²

Đạo hàm các hàm số lượng giác lớp 11.

(sinx)' = cosx

(cosx)' = -sinx

(tanx)' = 1/cos²x = 1 + tan²x ( x ≠π/2 + kπ, k ∈ Z).

(cotx)' = -1/sin²x = -(1 +cot²x).

(x ≠π , k ∈ Z).

(Sinu)' = cosu.u'.

(cosu)' = -sinu.u'.

(tanu') = u'/cos²u = (1 +tan²u)u' ( u ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z).

(cotu)' = -u'/sin²x = - 1 (1 + cot²u)u'  (u ≠ kπ, k ∈ Z).

Trên đây là một số quy tắc tính đạo mà các em cần phải nhớ. Chỉ khi nắm vững được phần kiến thức này các em mới có thể dễ dàng giải được các bài toán xét tính đơn điêu, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác...

Bài tập tính đạo hàm các hàm số lượng giác lớp 11

Để hiểu và vận dụng linh hoạt các quy tắc tính đạo hàm, các em hãy tìm hiểu qua những ví dụ sau:

Ví dụ 1:

Đạo hàm của hàm số y = 1/ (cos²x - sin²x) là :

A. y' = 2sin2x/cos²2x                                  B. y' = 2cos2x/cos²2x

C. y' = cos2x/cos²2x                                  D. y' = sin2x/cos²2x .

Hướng dẫn giải:

y = 1/ (cos²x - sin²x) = 1/cos2x.

Áp dụng quy tắc tính đạo hàm với (1/u)' = -u'/u² ta được"

y' = -(cos2x)'/ (cos2x)² = sin2x. (2x)'/ cos²2x = 2sin2x.cos²2x.

Ví dụ 2: Cho hàm y = cotx/2. Hệ thức nào sau đây là đúng?

A. y² + 2y' = 0                                  B. y² + 2y' + 1 = 0

C. y² + 2y' + 2 = 0                           D. y² + 2y' -1 = 0.

Đối với bài toán này, các em có thể dùng 2 cách để giải:

Cách 1:

Ta có y' = -1/(sin²x/2) = -1/2 ( 1+ cot²x/2).

Do đó y² + 2y'= cot²x/2 - 2.1/2(1 +cot²x/2) = cot²x/2 - (1 +cot²x/2) = -1 nên  y² + 2y' + 1 = 0. Chọn đáp án B.

Cách 2: Sử dụng máy tính casio.

Bước 1: Thiết lập môi trường SHIFT MODE 4.

Thay x = 1 vào y = cotx/2 ta tính được  y cot 1/2 ≈ 1

Sử dụng phím SHIFT ∫, nhập hàm số y = cotx/2 với x = 1 được kết quả ≈ -1.

Do đó y² + 2y' + 1 = 0.

Đối với các bài trắc nghiệm thì sử dụng máy tính cầm tay chính là bí quyết để các

Y⁽ⁿ⁾ = (-1) ⁽ⁿ⁾cos (2x + n /2)

em rút ngắn thời gian làm bài. Tuy nhiên cũng không nên áp dụng quá máy móc.

Đạo hàm của các hàm số lượng giác cấp cao

Ngoài các dạng bài tập trên, các em cũng cần chú đến bài toán tính đạo hàm cấp 2, cấp 3 của hàm số.

Ví dụ: Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = cos2x là:

A. y⁽ⁿ⁾ = (-1) ⁿcos (2x + n π/2)

B. y⁽ⁿ⁾ = 2 ⁿ cos ( 2x +π/2).

C.  y⁽ⁿ⁾ = 2^{n +1} cos (2x + nπ/2).

D.  y⁽ⁿ⁾ = 2ⁿ cos (2x + nπ/2).

Ta có y′=2cos(2x+π2),y′′=2²cos(2x+2π2)

y′′′=2³cos(2x+3π2)

Bằng quy nạp ta chứng minh được y⁽ⁿ⁾=  2ⁿcos(2x+nπ2)

Qua bài viết trên, CCBook đã chia sẻ với các em phương pháp tính đạo hàm của hàm số lượng giác. Hy vọng với bài viết này các em có thể củng cố kiến thức và nâng cao được kỹ năng làm bài tập.

Ngoài bài toán tính đạo hàm, học sinh cũng cần đặc biệt chú ý đến các hàm số lượng giác lớp 11 điển hình và những dạng bài tập chính.

Bí quyết để bứt phá môn điểm thi môn Toán trong thời gian ngắn nhất

Sách luyện thi THPT Quốc gia môn Toán

Kì thi THPT Quốc gia đang ở trước mắt, nhưng rất nhiều em loay hoay không biết phải làm thế nào để nắm vững kiến thức 3 năm. Trong khi đó lượng kiến thức môn Toán vô cùng lớn. Để thi ngày càng có nhiều câu hỏi ở mức vận dụng, vận dụng cao.

Để đạt được điểm khá giỏi không phải là điều dễ dàng. Đặc biệt với những teen 2K1 đang trong giai đoạn nước rút.

Thấu hiểu được những khó khăn của các em, CCBook đã cho ra mắt sách Đột phá 8+ môn Toán bao gồm Đại số & Hình học. Bộ sách hệ thống toàn bộ kiến thức trọng tâm của 3 năm. Các phương pháp giải nhanh bài tập để em bứt phá điểm số trong thời gian ngắn nhất.

Các em có thể tối đa hoa điểm số của mình cùng với sách luyện thi THPT Quốc gia môn Toán này nhờ các tiện ích kèm sách.

Hệ thống thi thử CCTest giúp em rèn kỹ năng làm bài.

Video bài giảng giúp em hiểu rõ cách làm câu hỏi khó, câu hỏi gây nhiễu trong đề thi.

Group giải đáp những khúc mắc trong học tập trên Facebook 24/24.

Chỉ với một cuốn sách luyện thi THPT Quốc gia của CCBook các em sẽ dễ dàng chinh phục được đề thi môn Toán đầy cam go.

Để tham khảo chi tiết hơn về bộ sách các em có thể để lại comment dưới bài viết. CCBook sẽ phản hồi các em trong thời gian sớm nhất.

Tham khảo thêm : Bài tập xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác lớp 11 nâng cao