"Xử gọn" bài tập tìm GTLN GTNN của hàm số lớp 12 về lượng giác

Bài tập tìm GTLN GTNN của hàm số lớp 12 liên quan đến lượng giác khiến không ít học sinh lúng túng. Để giúp các em dễ dàng "xử gọn" dạng bài tập này, CCBook sẽ đưa ra các phương pháp giải kèm theo ví dụ minh họa để các em hiểu sâu cách giải.

• "Thử sức" với bài tập xét tính đơn điệu của hàm số lớp 12 hay và khó

Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Cách làm bài tập tìm GTLN GTNN của hàm số lớp 12 về lượng giác

Bây giờ chúng ta sẽ cùng nhau giải một số bài tập tìm GTLN GTNN của hàm số lớp 12 về lượng giác. Các bài tập cơ bản đến nâng cao hay xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia.

Từ mỗi ví dụ, các em sẽ nắm được phương pháp giải và vận dụng chúng vào giải các bài tập tương tự.

Ví dụ 1: Hãy tìm giá trị lớn nhất của các hàm số 

a) 

b) 

Đây là một bài toán khá đơn giản. Nhưng giải được bài toán này và hiểu sâu phương pháp các em sẽ làm được các bài toán khó hơn.

Câu hỏi a)  

Vì bài toán không đưa ra yêu cầu phải tìm GTLN trên tập nào nên ta sẽ tìm trên chính tập xác định của hàm số.

Điều kiện: Cosx ≥ 0

Biểu thức  là hàm tổng của một số không đổi với . Vì thế giá trị của hàm số sẽ biến đổi theo cosx. Nếu Cosx càng lớn thì tổng càng lớn. Vậy tổng lớn nhất khi Cosx lớn nhất. Bây giờ chúng ta chỉ cần tìm được GTLN của cosx.

Ta có cosx ≤ 1 ∀x; cosx=1 khi x= k.2π, k ∈ z. Cosx= 1 thỏa mãn điều kiện.

⇒  có giá trị lớn nhất là 2√1 + 1 = 3 khi cosx=1, x=k2π.

Câu b)

y = 3-2sinx

Tập xác định của hàm số là R. Ta nhận thấy 3-2sinx là một hiệu của số hạng không đổi với 2sinx.

Vậy giá trị của hàm số phụ thuộc vào sinx. Nếu sinx có giá trị càng nhỏ thì hiệu càng lớn. Hiệu lớn nhất khi sinx nhỏ nhất.

Sinx ≥ -1 với ∀ x, sinx=-1 khi x = -π/2 + 2kπ, k ∈ Z.

Sinx nhỏ nhất = -1 ⇒ ymax= 3-2(-1) = 5.

Ví dụ 2: y = 2sin²x - cosx + 1

Ở bài toán này có cả sinx và cosx trong hàm số. Để làm bài tập tìm GTLN GTNN của hàm số lớp 12 về lượng giác này các em cần dùng một biến số phụ.

Cách giải như sau:

Đặt t = cosx (-1 ≤ t ≤ 1), miền giá trị của biến t. Thay sin²x= 1-t²

y = 2.(1-t²) - t + 1= -2t² - t + 3

Lúc này chúng ta lại quay về bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số thông thường với biến t, t ∈ [-1;1]. Để đưa ra được đáp án nhanh hơn nữa, các em có thể tham khảo Hướng dẫn tìm GTLN GTNN của hàm số lớp 12 bằng máy tính CASIO

Ví dụ 3: y= sin³x + cos³x + 9/4sinxcosx

Để làm được các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất này, học sinh cần phải biết cách vận dụng hằng đẳng thức. Ta sẽ phân tích hàm số trên như sau:

y = (sinx +cosx).(sin²x + cos²x - sinx.cosx)  + 9/4sinxcosx

y = (sinx + cosx). (1-sinx.cosx) + 9/4sinxcosx

Đặt t = sinx + cosx = t ⇒ t ∈ ( -√2; √2), sinx.cosx = (t²-1)/2

Thay sinx + cosx = t ta có y = t [ 1-(t²-1)/2] + 9/4. (t²-1)/2

⇔ y = 1/8 -4t³ + 9t² + 12t - 9

Đến đây các em có thể giải bài toán theo cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số thông thường.

Ví dụ 4: y= sin³x - cos2x + sinx + 2

Bài toán về hàm số lượng giác luôn cần sự khéo léo trong cách biến đổi để đặt được biến phụ.
Trong ví dụ trên, các em sẽ biến đổi hàm số như sau:

y = sin³x  1 - cos2x + sinx + 1 = sin³x + 2sin²x + sinx + 1

Lúc này bài toán trờ về vô cùng đơn giản khi các em đặt t= sinx , t ∈ [-1;1]. Ta có y= t³ + 2t² + t + 1

Các bước làm bài tập tìm GTLN GTNN của hàm số lớp 12 này tương tự như với hàm số thông thường.

Trên đây là các dạng bài tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lớp 12 về lượng giác và phương pháp giải cụ thể. Các em có thể dựa vào ví dụ mà CCBook đã đưa ra để làm bài tập thực hành.

Suy cho cùng để làm tốt được dạng bài trên, các em vẫn phải thành thạo cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cơ bản. Nếu em nào còn đang "lơ mơ" thì hãy tham khảo ngay bài viết: Tìm GTLN, GTNN của hàm số lớp 12 chỉ trong tích tắc teen 2K1 biết chưa?

Bên cạnh đó, teen 2K1 cũng cần dành thời gian để ôn luyện các phần khác thuộc chuyên đề hàm số lớp 12 như:

- Cực trị của hàm số

- Tính đơn điệu hàm số

- Tìm tập xác định của hàm số chứa căn

...

Trên đây đều là những phần kiến thức quan trọng liên quan đến đề thi THPT Quốc gia. Để nằm lòng các kiến thức về hàm số lớp 12, teen 2K1 hãy tham khảo ngay cuốn sách Đột phá 8+ kì thi THPT Quốc gia môn Toán.

Cuốn sách này sẽ là người bạn đồng hành hỗ trợ các em bước qua cánh cổng đại học dễ dàng hơn.

Tại sao lại nói như vậy?

Sách Đột phá 8+ kì thi THPT Quốc gia môn Toán

Bởi vì cuốn sách luyện thi THPT Quốc gia môn Toán này tổng hợp kiến thức Toán cả 3 năm. Lượng kiến thức tưởng chừng như khổng lồ ấy lại được gói gọn trong 1 cuốn sách. Lý thuyết và bài tập trọng tâm đều được trình bày chi tiết, tỉ mỉ. Các phương pháp giải nhanh giúp học sinh thích ứng với đề thi trắc nghiệm môn Toán.

Rất nhiều teen 2K1 đang "sôi sục" tìm cuốn sách luyện thi THPT Quốc gia mang tên Đột phá 8+. Các thầy cô chuyên môn cũng đánh giá nội dung của sách bám rất sát với định hướng ra đề thi 2019.

Với Đột phá 8+ kì thi THPT Quốc gia môn toán việc đạt điểm cao chỉ là "chuyện nhỏ" nếu các em biết vận dụng sách hiệu quả.